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Développement de Taylor

Calcul approchée de la fonction exponentielle

On rappelle que le développement de Taylor à l'ordre de \(n\) de la fonction exponentielle en 0 s'écrit $$e^x = \sum_{k=0}^{k=n}\frac{x^k}{k!} + R_n(x)$$ avec $$R_n(x) = exp(\theta)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}, \ \theta \in ]0,x[$$

On considérera que la fonction exponentielle calculée par math.h est une bonne approximation, qu'on utilisera comme valeur "exacte".

1. Ecrite une fonction exptaylor(double x,int n) qui calcule une valeur approchée de \(e^x\) en négligeant le reste du développement de taylor à l'ordre \(n\), i.e $$e^x \approx \sum_{k=0}^{k=n} \frac{x^k}{k!}$$
2. Calculer \(e^2\) avec votre fonction, en faisant varier n entre 1 et 20.
3. Faites afficher l'erreur relative commise. On rappelle que l'erreur relative commise en approchant \(x_0\) par \(x_1\) est le rapport $$\frac{|x_1 -x_0|}{|x_0|}$$
4. Pouvez-vous donner, grâce au développement de Taylor, un majorant de l'erreur relative ? vérifiez numériquement.
5. Refaites les questions précedentes pour \(e^{20}\). Que constatez-vous sur l'erreur relative ? Avez-vous une explication ?
6. Trouvez un moyen d'obtenir une plus grande précision pour \(e^{20}\).
7. Refaites les questions précedentes pour \(e^{-10}\).