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Développement de Taylor

Calcul approchée de la fonction exponentielle

On rappelle que le développement de Taylor à l'ordre de $n$ de la fonction exponentielle en 0 s'écrit $$e^x = \sum_{k=0}^{k=n}\frac{x^k}{k!} + R_n(x)$$ avec $$R_n(x) = exp(\theta)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}, \ \theta \in ]0,x[$$

On considérera que la fonction exponentielle calculée par math.h est une bonne approximation, qu'on utilisera comme valeur "exacte".

1. Ecrite une fonction exptaylor(double x,int n) qui calcule une valeur approchée de $e^x$ en négligeant le reste du développement de taylor à l'ordre $n$, i.e $$e^x \approx \sum_{k=0}^{k=n} \frac{x^k}{k!}$$
2. Calculer $e^2$ avec votre fonction, en faisant varier n entre 1 et 20.
3. Faites afficher l'erreur relative commise. On rappelle que l'erreur relative commise en approchant $x_0$ par $x_1$ est le rapport $$\frac{|x_1 -x_0|}{|x_0|}$$
4. Pouvez-vous donner, grâce au développement de Taylor, un majorant de l'erreur relative ? vérifiez numériquement.
5. Refaites les questions précedentes pour $e^{20}$. Que constatez-vous sur l'erreur relative ? Avez-vous une explication ?
6. Trouvez un moyen d'obtenir une plus grande précision pour $e^{20}$.
7. Refaites les questions précedentes pour $e^{-10}$.